无穷小的比较
#$$
若\lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} =0 \ ,则称\ \beta(x)\ 为\ \alpha (x)\ 的高阶无穷小 \\ 若 \lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} =k \ne 0\ ,则称\ \beta(x)\ 为\ \alpha (x)\ 的同阶无穷小 \\若\lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} =1\ ,则称\ \beta(x)\ 为\ \alpha (x)\ 的等价无穷小
$$
无穷小的基本性质
#$$
\ 1. 有限个无穷小之和或者之差仍为无小。\\2. 有界函数与无穷小之积仍为无穷小。\\3. 常数与无穷小之积仍为无穷小。\\4.\lim f(x) = A \ 的充分必要条件\ f(x) + a(x)\ ，其中\lim a(x) =0
$$
常见的等价无穷小(当x 趋向于0）
#$$
x \thicksim \sin x \thicksim \arcsin x \thicksim \tan x \thicksim \ln (1+x) \thicksim (e^x-1) \thicksim {{a^x-1} \over \ln a} \thicksim {{(1+x)^a-1}\over a}\\1-\cos x \thicksim \frac{1}{2}x^2
$$
两个重要极限
#$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} =1 \ ;\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x=e \ (变式:\lim_{x \to 0} (1+x )^\frac{1}{x}=e)
$$
